«برتراند راسل» به زبان ساده : مشکل دنیا این است که احمق‌ها بیش از حد مطمئن هستند و عاقلان پر از تردید!

«برتراند راسل» به زبان ساده : مشکل دنیا این است که احمق‌ها بیش از حد مطمئن هستند و عاقلان پر از تردید!

  راسل می گوید که اگر همه فقط ۴ ساعت در روز کار کنند، بیکاری کاهش می‌یابد و مردم وقت بیشتری برای فعالیت‌های خلاقانه و لذت‌بخش خواهند داشت.

عصر ایران - در ادامه بررسی اندیشه های فلسفی، به نام پرآوازه "برتراند آرتور ویلیام راسل" می رسیم. او در ۱۸ مه ۱۸۷۲ در انگلستان، در یک خانواده‌ی اشرافی و سیاستمدار به دنیا آمد. خانواده‌ی او از نظر فکری بسیار برجسته بودند؛ پدربزرگش، جان راسل، نخست‌وزیر بریتانیا بود. اما زندگی در همان اول کار، روی ناخوش خود را به راسل کوچولو نشان داد و مادر و خواهرش در 2 سالگی او به دلیل دیفتری فوت کردند و کمی بعد، پدرش نیز از دنیا رفت. پس از این، او تحت سرپرستی مادربزرگ محافظه‌کار و مذهبی‌اش قرار گرفت.

با وجود محیط مذهبی خانه، راسل از همان نوجوانی شروع به شک کردن به باورهای مسیحیت کرد. او در یادداشت‌هایش نوشته که دوران نوجوانی‌اش پر از احساس تنهایی و افسردگی بوده، اما علاقه‌ی شدیدش به ریاضیات و فلسفه باعث شد که در ذهنش دنیایی تازه بسازد. مطالعه‌ی آثار افلاطون، کانت و لایب‌نیتس، او را به فلسفه علاقه‌مند کرد. در سن ۱۸ سالگی، به دانشگاه کمبریج رفت و در آنجا به مطالعه‌ی منطق و ریاضیات پرداخت.

کانال عصر ایران در تلگرام

در کمبریج، او با آلفرد نورث وایتهد آشنا شد و این دو، یکی از بزرگ‌ترین کتاب‌های تاریخ فلسفه و ریاضیات یعنی "اصول ریاضیات" (Principia Mathematica) را نوشتند. این اثر، پایه‌های جدیدی برای منطق ریاضی گذاشت و تلاش کرد تمام مفاهیم ریاضی را بر اساس منطق محض تعریف کند.

اما زندگی راسل فقط به فلسفه و منطق محدود نشد. او فردی بسیار فعال در سیاست بود. در دوران جنگ جهانی اول، به دلیل مخالفتش با جنگ، از دانشگاه اخراج شد و حتی مدتی را در زندان گذراند.
پس از جنگ، او سفرهای زیادی کرد و به تدریس و نویسندگی ادامه داد. در جنگ جهانی دوم، گرچه در ابتدا با جنگیدن مخالفت می‌کرد، اما با دیدن خطر فاشیسم، نظرش تغییر کرد. او همچنین در دوران جنگ سرد، یکی از بزرگ‌ترین منتقدان تسلیحات هسته‌ای شد و برای صلح جهانی فعالیت کرد.

راسل در طول زندگی خود چهار بار ازدواج کرد و تا آخرین روزهای عمرش، ذهنی فعال و پرسشگر داشت. در سال ۱۹۵۰، به پاس فعالیت‌هایش در زمینه‌ی فلسفه و حقوق بشر، جایزه‌ی نوبل ادبیات را دریافت کرد. در سن ۹۷ سالگی، در سال ۱۹۷۰ درگذشت، اما ایده‌هایش همچنان در دنیای فلسفه و علم زنده‌اند.

اصول فلسفه برتراند راسل 

برتراند راسل یکی از پایه‌گذاران فلسفه تحلیلی بود.  اصول فلسفی او بر پایه عقلانیت، منطق و تحلیل دقیق مفاهیم استوار است. اگر می خواهید اصول فلسفی او را بدانید ادامه این مطلب برای شماست:

۱. منطق‌گرایی (Logicism)

راسل معتقد بود که ریاضیات و منطق از یک جنس هستند و می‌توان تمام مفاهیم ریاضی را به مفاهیم منطقی تقلیل داد. او تلاش کرد تا نشان دهد که ریاضیات بر پایه اصول منطقی بنا شده است و نیازی به مفاهیم مستقل ریاضی ندارد.

در کتاب "Principia Mathematica" (که با همکاری آلفرد نورث وایتهد نوشته شد)، راسل تلاش کرد تا نشان دهد که حتی ساده‌ترین مفاهیم ریاضی مانند اعداد را می‌توان با استفاده از منطق تعریف کرد.  این ایده به ما کمک می‌کند تا بفهمیم که چگونه مفاهیم پیچیده ریاضی از اصول ساده‌تر و منطقی‌تر نشأت می‌گیرند. این رویکرد در علوم کامپیوتر و هوش مصنوعی نیز کاربرد دارد، جایی که منطق پایه بسیاری از الگوریتم‌ها است.

۲. تحلیل زبانی (Linguistic Analysis)

راسل بر اساس تجربیات فردی و ادبی به این نتیجه رسیده بود که بسیاری از مشکلات فلسفی ناشی از ابهامات زبانی هستند. او معتقد بود که با تحلیل دقیق زبان و ساختار جملات، می‌توان این ابهامات را برطرف کرد و به درک بهتری از مسائل فلسفی رسید.

  این ایده در فلسفه زبان و تحلیل متون بسیار مفید است. برای مثال، در حقوق یا سیاست، تحلیل دقیق زبان می‌تواند به جلوگیری از سوءتفاهم‌ها و تفسیرهای نادرست کمک کند.

۳. اومانیسم و عقلانیت (Humanism and Rationalism)

راسل به شدت به عقلانیت و علم باور داشت و معتقد بود که انسان‌ها باید با استفاده از عقل و منطق، مشکلات خود را حل کنند. او مخالف خرافات و باورهای غیرمنطقی بود و همواره بر اهمیت تفکر انتقادی تأکید می‌کرد.

این ایده در آموزش و پرورش بسیار مهم است. آموزش تفکر انتقادی به دانش‌آموزان کمک می‌کند تا به جای پذیرش بدون سؤال اطلاعات، آنها را تحلیل کنند و به درک بهتری از جهان برسند.

۴. رئالیسم (Realism)

راسل به عنوان یک رئالیست، معتقد بود که جهان خارجی مستقل از ذهن انسان وجود دارد و ما می‌توانیم از طریق علم و منطق به درک آن برسیم. او مخالف ایده‌آلیسم بود که معتقد است جهان تنها در ذهن ما وجود دارد.

 راسل استدلال می‌کرد که حتی اگر همه انسان‌ها ناپدید شوند، جهان فیزیکی همچنان وجود خواهد داشت. این ایده بر پایه علم فیزیک و مشاهدات تجربی استوار است.

 ۵. صلح‌طلبی و اخلاق (Pacifism and Ethics)

راسل نه تنها یک فیلسوف نظری بود، بلکه به مسائل اخلاقی و اجتماعی نیز علاقه‌مند بود. او به شدت مخالف جنگ و خشونت بود و معتقد بود که انسان‌ها باید با استفاده از عقل و گفت‌وگو، اختلافات خود را حل کنند.

  راسل در طول جنگ جهانی اول به دلیل مخالفت با جنگ زندانی شد. او بعدها نیز در جنبش ضد جنگ ویتنام و جنبش ضد سلاح‌های هسته ای فعال بود.

۶. شک‌گرایی سالم (Healthy Skepticism)

راسل معتقد بود که شک‌گرایی سالم می‌تواند به پیشرفت فکری کمک کند. او از مردم می‌خواست که به جای پذیرش کورکورانه اطلاعات، همیشه سؤال کنند و به دنبال شواهد و استدلال‌های محکم باشند.

 راسل در کتاب "مسائل فلسفه" به خوانندگان یادآوری می‌کند که حتی ساده‌ترین باورها، مانند وجود جهان خارجی، نیاز به بررسی و تردید دارند. او استدلال می‌کرد که این شک‌گرایی به ما کمک می‌کند تا به درک عمیق‌تری از واقعیت برسیم.

در ستایش بطالت

هر چند راسل به معنای واقعی کلمه، زندگی خود رابه بطالت نگذراند  ولی کتاب معروفی دارد به نام " در ستایش بطالت" ، عنوانی که حتماً نگاه شما را در کتابفروشی به خود جلب می کند.این کتاب در سال ۱۹۳۵ منتشر شد و راسل در آن به نقد سیستم‌های کاری مدرن و تأثیر آنها بر زندگی انسان‌ها می‌پردازد. او استدلال می‌کند که جامعه‌ی صنعتی و سرمایه‌داری بیش از حد بر کار و تولید متمرکز شده است و این موضوع باعث شده تا انسان‌ها از زندگی لذت‌بخش و معنادار محروم شوند. در ادامه، اندیشه‌های اصلی راسل در این کتاب را به زبان ساده توضیح می‌دهم:
۱. کار بیش از حد، زندگی را نابود می‌کند

راسل معتقد بود که جامعه‌ی مدرن بیش از حد بر کار تأکید دارد و مردم مجبورند ساعت‌های طولانی کار کنند تا فقط نیازهای اولیه‌ی خود را برآورده کنند. او استدلال می‌کرد که این سیستم باعث می‌شود مردم وقت کافی برای استراحت، تفریح و رشد شخصی نداشته باشند.

  راسل اشاره می‌کند که در گذشته، مردم زمان بیشتری برای استراحت و لذت بردن از زندگی داشتند، اما در جامعه‌ی صنعتی، کار به یک اجبار تبدیل شده است.

۲. تقسیم ناعادلانۀ  کار

راسل به این موضوع اشاره می‌کند که کار در جامعه به طور ناعادلانه تقسیم شده است. برخی افراد ساعت‌های طولانی و سخت کار می‌کنند، در حالی که برخی دیگر کار کمی انجام می‌دهند یا اصلاً کار نمی‌کنند. او معتقد بود که اگر کار به طور عادلانه‌تری تقسیم شود، همه می‌توانند ساعت‌های کمتری کار کنند و زمان بیشتری برای زندگی داشته باشند.

  راسل می گوید که اگر همه فقط ۴ ساعت در روز کار کنند، بیکاری کاهش می‌یابد و مردم وقت بیشتری برای فعالیت‌های خلاقانه و لذت‌بخش خواهند داشت.

۳. بطالت به معنای تنبلی نیست

راسل تأکید می‌کند که بطالت (Idleness) به معنای تنبلی یا بی‌کاری نیست، بلکه به معنای داشتن زمان آزاد برای انجام کارهایی است که واقعاً به آنها علاقه داریم. او معتقد بود که انسان‌ها باید وقت بیشتری برای تفکر، خلاقیت و لذت بردن از زندگی داشته باشند.

 راسل می‌گوید بسیاری از پیشرفت‌های بزرگ علمی و فرهنگی در تاریخ، نتیجه‌ی زمان آزاد و تفکر افراد بوده است، نه کار سخت و طاقت‌فرسا.

4. بطالت به عنوان راهی برای صلح

راسل همچنین معتقد بود که کاهش ساعت کار و افزایش زمان آزاد می‌تواند به کاهش تنش‌های اجتماعی و جنگ‌ها کمک کند. او استدلال می‌کرد که بسیاری از جنگ‌ها ناشی از رقابت‌های اقتصادی و تلاش برای کنترل منابع هستند. اگر مردم زمان بیشتری برای تفکر و همکاری داشته باشند، احتمال درگیری‌ها کاهش می‌یابد. 

اگر بخواهیم خیلی مختصر و مفید بگوییم راسل در این کتاب به ما یادآوری می‌کند که کار نباید تنها هدف زندگی باشد. او معتقد است که انسان‌ها باید زمان بیشتری برای استراحت، تفکر و لذت بردن از زندگی داشته باشند. راسل پیشنهاد می‌کند که با کاهش ساعت کار و تقسیم عادلانه‌تر آن، می‌توانیم به جامعه‌ای برسیم که در آن مردم شادتر، خلاق‌تر و صلح‌طلب‌تر باشند.

این کتاب نه تنها یک انتقاد تند به سیستم‌های کاری مدرن است، بلکه دعوتی است به بازنگری در ارزش‌های جامعه و اولویت‌دادن به زندگی معنادار و لذت‌بخش.
البته که مشخص است در جامعه ای که با چند شیفت کار هم نمی شود نیازهای اولیه زندگی را تامین کرد، این اندیشه راسل، محلی از اعراب ندارد؛ در واقع شاید روی سخن راسل سیاستگذاران جوامع است که باید شرایطی را فراهم کنند که انسان ها با حداقلی از کار بتوانند حداکثر لذت از زندگی را ببرند.

نقدهایی بر فلسفه راسل

کاهشگرایی: برخی منتقدان معتقدند که رویکرد راسل به فلسفه، به ویژه در مورد منطقگرایی، بیش از حد کاهشگرایانه است. آنها استدلال میکنند که نمی توان تمام مفاهیم فلسفی و ریاضی را به مفاهیم منطقی ساده تقلیل داد.

عدم توجه به تجربه گرایی: برخی فیلسوفان، مانند جان دیویی، معتقدند که راسل به اندازه کافی به نقش تجربه و احساسات در شکل گیری دانش توجه نکرده است. آنها بر این باورند که فلسفه راسل بیش از حد بر عقلانیت و منطق متمرکز است و از جنبه های دیگر تجربه انسانی غافل شده است.

انتقادات مذهبی: راسل به دلیل انتقادات تندش از مذهب، مورد انتقاد قرار گرفته است. برخی معتقدند که او نتوانسته است به درستی به جنبه های مثبت و معنوی مذهب توجه کند و بیش از حد بر جنبه های منفی آن تمرکز کرده است.

کتاب های برتراند راسل

راسل، نویسنده ای پرکار بود و نگاهی به عناوین کتاب هایش موید این مدعاست:

آرمان‌های سیاسی
آزادی و سازمان: پیدایش و سیر تکوین سوسیالیسم، لیبرالیسم، رادیکالیسم، ناسیونالیسم
اخلاق و سیاست
امیدهای نو
پژوهشی در معناداری و صدق
تاثیر علم بر اجتماع
تاریخ فلسفه غرب
جهان‌بینی علمی
تحلیل علمی ـ فلسفی از اصول مارکسیسم ماتریالیسم
پیروزی سفید
زناشوئی و اخلاق
حقیقت و افسانه
جهان‌بینی علمی
شاهراه خوشبختی
زمینه‌های فلسفه
علم و مذهب
عمل و تئوری بلشویسم
قدرت
درک تاریخ
جنایات جنگ در ویتنام
مرجع قدرت و فرد
آینده بشر
اخلاق و سیاست در جامعه
تحلیل ذهن
تسخیر خوشبختی
چرا مسیحی نیستم
مفهوم نسبیت انشتین و نتایج فلسفی آن
ماده و یاد: رهیافتی به رابطه جسم و روح
زندگینامه برتراند راسل به قلم خودش
مقدمه‌ای بر فلسفه ریاضی
جهانی که من می‌شناسم
آموزش و زندگی بهتر
عرفان و منطق
تکامل فلسفی من
تحلیل ذهن
اتمیسم منطقی
اصول نوسازی جامعه
قدرت و فرد
مسائل فلسفه
در ستایش بطالت
پژوهشی در معناداری و صدق
مسئله چین
بلشویسم از تئوری تا عمل

 5 جمله از راسل

1 .  ترس منبع اصلی خرافات است و یکی از بزرگترین منابع ظلم.

2 . مشکل دنیا این است که احمق‌ها بیش از حد مطمئن هستند و عاقلان پر از تردید.

3 .علم چیزی است که شما می دانید، فلسفه چیزی است که شما نمی دانید.

4 . آزاد اندیشی یعنی آمادگی برای تغییر عقیده در برابر شواهد جدید.
5. هرگز از ابراز عقیده‌ی خود نترسید، حتی اگر تنها کسی باشید که آن را باور دارد.

---

بیشتر بخوانید:

«سهروردی» به زبان ساده : فیلسوف ایرانگرایی که تندروها تکفیر و اعدامش کردند

«هانا آرنت» به زبان ساده : هیچ چیز خطرناک‌تر از این نیست که مردم فکر نکنند

«رنه دکارت» به زبان ساده : می اندیشم، پس هستم

«فردریش نیچه» به زبان ساده : خدا مرده است و ما او را کشته ایم!

«ارسطو» به زبان ساده: انسان، حیوان سیاسی است

«کارل پوپر» به زبان ساده : همیشه آماده باشیم که از باورهایمان دست بکشیم، دانش ما همواره ناقص و موقت است

دنیای رمزآلود احتمالات؛ چرا «احتمال» احتمالاً وجود ندارد؟

تمام آمار و محاسبه‌ها همچنین بخش زیادی از علم به احتمال وابسته است؛ دستاوردی حیرت انگیز که هیچ‌کس واقعا نمی‌داند چیست.

زندگی نامشخص است. هیچ‌کدام از ما نمی‌دانیم در آینده قرار است چه اتفاقی بیفتد. ما همچنین از آنچه در گذشته اتفاق افتاده یا درحال‌حاضر خارج از تجربه‌ی فوری ما اتفاق می‌افتد، اطلاعات کمی داریم. دانستن این عدم قطعیت، «آگاهی آگاهانه از نادانی» نامیده می‌شود؛ خواه مربوط به وضعیت هوا در روز بعد، قهرمان بعدی لیگ برتر، شرایط اقلیمی در سال ۲۱۰۰ یا هویت اجداد باستانی ما باشد.

به گزارش زومیت، ما در زندگی روزمره‌مان اغلب با به‌کاربردن کلماتی همچون «ممکن است»، «می‌تواند» و «احتمال دارد اتفاق بیفتد (یا نیفتد)»، عدم قطعیت را ابراز می‌کنیم. اما این واژگان نامعین می‌توانند فریب‌آمیز باشند. در سال ۱۹۶۱، جان اف کندی، رئیس جمهور تازه منتخب ایالات متحده از طرح سازمان اطلاعات مرکزی (سیا) برای حمله به کشور کمونیستی کوبا مطلع شد.

کندی ارزیابی طرح را به فرماندهان ارشد نظامی سپرد. آن‌ها نتیجه گرفتند که فقط ۳۰ درصد شانس موفقیت دارند یا به عبارت دیگر، احتمال شکست ۷۰ درصد است. در گزارش ارائه‌شده به رئیس‌جمهور، احتمال کمتر موفقیت به عنوان «شانس نسبتاً خوب» درنظر گرفته شد.

بااین‌حال، حمله به خلیج خوک‌ها شکست خورد. امروزه مقیاس های مشخصی برای تبدیل واژه‌ی احتمال به اعداد تقریبی وجود دارد. برای مثال، در سازمان اطلاعاتی بریتانیا، زمانی که از واژه‌ی «احتمالاً» استفاده می‌شود، منظور شانس بین ۵۵ درصد تا ۷۵ درصد است.

هر احتمال عددی چه در مقاله‌ای علمی، چه در پیش‌بینی‌های هواشناسی، نتایج یک رقابت ورزشی یا سنجش یک خطر سلامتی، ویژگی عینی جهان نیست

تلاش برای به‌کاربردن اعداد در شانس و عدم قطعیت، ما را به قلمرو ریاضی احتمال سوق می‌دهد؛ جایی که امروزه با اطمینان از اعداد در هر حوزه‌ای استفاده می‌شود. فقط کافی است یک مجله علمی را باز کنید و در مقالات آن با اصطلاح‌هایی همچون مقادیر P، بازه‌های اطمینان یا توزیع‌های پسین بیزی مواجه شوید.

بااین‌حال، می‌توان استدلال کرد که هر احتمال عددی چه در مقاله‌ای علمی، چه در پیش‌بینی‌های هواشناسی، نتایج یک رقابت ورزشی یا سنجش یک خطر سلامتی، ویژگی عینی جهان نیست؛ بلکه ساختاری مبتنی بر قضاوت‌های فردی یا جمعی و فرضیات اغلب مشکوک است. علاوه بر این، در بیشتر موارد حتی نمی‌توان گفت که چنین احتمالی یک مقدار «واقعی» است. درواقع، به ندرت می‌توان گفت که احتمال اصلاً «وجود» دارد.

مداخله‌گر تصادفی

احتمال نسبتاً دیر به ریاضیات وارد شد. با اینکه مردم هزاران سال پیش با استخوان‌های کوچک قاپ‌بازی می‌کردند، تا وقتی بلز پاسکال و پیر دو فرما در دهه‌ی ۱۶۵۰ مکاتبات خود را آغاز نکردند، هیچ تحلیل دقیقی از رویدادهای «تصادفی» انجام نشده بود. از آن زمان، احتمال مانند آبی که از سد رها شده، به حوزه‌های متنوع مانند امور مالی، نجوم، حقوق و البته قمار گسترش یافته است.

 جان اف کندی حمله‌ی آمریکا به کوبا را براساس احتمالات غیردقیق تایید کرد.

برای درک ماهیت لغزنده‌ی احتمال، فقط کافی است به شرایط استفاده از این مفهوم در برنامه‌های پیش‌بینی هواشناسی دقت کنید. هواشناسان دما، سرعت باد، مقدار بارندگی و اغلب احتمال بارندگی را پیش‌بینی می‌کنند؛ مثلا می‌گویند احتمال بارش باران برای یک زمان و مکان معین در حدود ۷۰ درصد است.

 سه مورد اول را می‌توان به راحتی با مقادیر واقعی آن‌ها مقایسه کرد؛ به طوری که می‌توانید بیرون بروید و آن‌ها را اندازه بگیرید. اما هیچ احتمالی واقعی برای مقایسه‌ی مورد آخر با پیش‌بینی ارائه‌شده وجود ندارد. درواقع هیچ «احتمال‌سنجی» در کار نیست: یا باران می‌بارد یا نمی‌بارد!

ایان هکینگ، فیلسوف علم می‌گوید احتمال دو چهره دارد؛ بدین معنی که هم شانس و هم نادانی را بیان می‌کند. دیوید اشپیگل‌هالتر، آماردان بریتانیایی برای درک بهتر این توصیف، می‌گوید تصور کنید سکه‌ای را پرتاب می‌کنم و از شما می‌پرسم که احتمال آمدن شیر چقدر است.

با خوشحالی می‌گویید پنجاه پنجاه! یا شاید مقادیر دیگر. سپس سکه را برمی‌گردانم، نگاهی سریع به آن می‌اندازم، اما روی آن را می‌پوشانم و می‌پرسم: احتمال اینکه اکنون شیر باشد، از نظر شما چقدر است؟

به خاطر داشته باشید که اشپیگل‌هالتر به «احتمال شما» و نه «احتمال» اشاره کرده است. در این لحظه بیشتر افراد در پاسخ‌دادن دچار تردید می‌شوند. پس از آن با مکثی کوتاه و با بی‌میلی دوباره «پنجاه-پنجاه» را تکرار می‌کنند. اما این بار رویداد رخ داده است و دیگر تصادفی وجود ندارد.

تنها ناآگاهی شما از فرآیند باقی خواهد ماند. در این حالت، ما از وضعیت عدم قطعیت تصادفی که قادر به دانستش نبوده‌ایم، به حالت عدم قطعیت شناختی که در حال حاضر نمی‌دانیم، وارد می‌شویم. برای هر دو حالت، از احتمال عددی استفاده می‌شود.

در اینجا یک درس دیگر وجود دارد. حتی اگر مدل آماری برای پیش‌بینی نتیجه موجود باشد، همیشه مبتنی بر مفروضات ذهنی است. مثلاً در مورد پرتاب سکه، این فرض که دو نتیجه به یک اندازه محتمل هستند، می‌تواند از ابتدا درست نباشد. در واقع، کسی که سکه را می‌اندازد، ممکن است از سکه‌ای با دو طرف یکسان استفاده کرده باشد؛ درنتیجه اینکه تصور می‌کنیم هر طرف سکه پنجاه درصد شانس آمدن دارد، صرفاً براساس اعتماد قبلی است.

ذهنیت و علم

استدلال اشپیگل‌هالتر این است که هر کاربرد عملی احتمال شامل قضاوت های ذهنی می‌شود. البته این بدان معنا نیست که می‌توان هر عدد دلبخواهی را به افکار نسبت داد. به عنوان مثال، اگر کسی مدعی باشد که با احتمال ۹۹٫۹ درصد می تواند از روی سقف پرواز کند، به وضوح به عنوان یک ارزیاب ضعیف در دنیای احتمال شناخته خواهد شد. دنیای عینی زمانی به میدان می‌آید که احتمالات و فرضیه‎ها‌ی زیربنایی آن‌ها دربرابر واقعیت عینی آزموده شوند؛ اما بدین معنا نیست که خود احتمالات عینی هستند.

برخی از فرضیه‌هایی که افراد برای ارزیابی احتمال به کار می‌برند، توجیه‌های قوی‌تر نسبت به بقیه خواهند داشت. اگر فرد پرتابگر سکه، آن را پیش از پرتاب بررسی کند، بداند که روی سطحی سخت فرود می‌آید و به‌طرز پیش‌بینی‌ناپذیر می‌چرخد، آن‌گاه قضاوت «پنجاه-پنجاه» موجه‌تر از زمانی خواهد بود که فردی نامطمئن سکه‌ای را درمی‌آورد و با چند چرخش بی‌هدف پرتاب می‌کند. همین ملاحظات در هر جایی که احتمال استفاده شود، صدق می‌کند؛ ازجمله در زمینه‌های علمی که در آن ممکن است به‌طور طبیعی‌تر ادعاهای مطرح‌شده را بپذیریم.

 به عنوان نمونه در یک جریان به‌خصوص علمی و عمومی، بلافاصله بعد از آغاز دنیاگیری کووید ۱۹، آزمایش‌هایی به نام «RECOVERY» در بریتانیا، برای بررسی روش‌های درمانی بیماران بستری آغاز شد. در یکی از این آزمایش‌ها، بیش از ۶هزار بیمار به صورت تصادفی در دو گروه تقسیم شدند: گروه اول فقط تحت مراقبت‌های استاندارد بیمارستانی ازجمله دستگاه تنفس مصنوعی قرار گرفتند و گروه دیگر، علاوه بر مراقبت‌ها یک دوز دگزامتازون نیز دریافت کردند.

سپس نتیجه گرفته شد که مرگ‌ومیر روزانه (با تعدیل سنی) در گروه دریافت‌کننده‌ی دگزامتازون، ۲۹ درصد کمتر از گروه دریافت‌کننده‌ی مراقبت‌های استاندارد (با فاصله‌ی اطمینان ۹۵ درصد بین ۱۹ درصد تا ۴۹ درصد) بود. مقدار P یا احتمال مشاهده‌ی چنین تاثیر چشمگیری از دگزامتازون با فرض اینکه اختلاف واقعی در خطر وجود نداشته باشد (فرضیه صفر)، برابر با ۰٫۰۰۰۱ یا ۰٫۰۱ درصد محاسبه شد.

هر کاربرد عملی احتمال شامل قضاوت های ذهنی می‌شود

تمام این محاسبات هرچند تحلیل استاندارد است، سطح اطمینان دقیق و مقدار P نه تنها به فرضیه صفر، بلکه به تمام مفروضات مدل آماری دیگر مانند مستقل‌بودن مشاهدات وابسته است؛ یعنی هیچ عاملی وجود ندارد که باعث شود افرادی که در مکان و زمان دقیق‌تر با آن‌ها برخورد می‌کنند، نتایج مشابه‌تری داشته باشند.

اما در واقع، چنین عواملی بسیار زیاد هستند؛ ممکن است تغییر در شیوه‌های مراقبتی یا بیمارستانی که در آن بیماران تحت بستری قرار گرفته‌اند. باعث ایجاد چنین تاثیری بشود. علاوه بر‌ این، مقدار دقیق P به یکسان‌بودن فرض احتمالی ۲۸ روز زنده‌ماندن همه شرکت کنندگان در هر گروه، وابسته است. اما این احتمال به دلایل مختلفی برای هر فرد متفاوت خواهد بود.

البته هیچ یک از فرضیه‌های نادرست لزوماً باعث نمی‎شود که تحلیل دانشمندان دارای اشکال باشد. در این مورد، سیگنال آن قدر قوی است که حتی اگر مدلی را در نظر بگیریم که در آن خطر زمینه‌ای بین شرکت‌کنندگان متفاوت باشد، تاثیر چندانی بر نتیجه‌گیری کلی نخواهد داشت. بااین‌حال اگر نتایج در آستانه‌ی معناداری آماری بودند، انجام تحلیل گسترده‌تر برای بررسی حساسیت مدل نسبت به فرضیات جایگزین، مناسب‌تر می‌بود.

همان‌طور که در جمله‌ای معروف آمده: همه مدل‌ها اشتباه‌اند، اما برخی مفید. در اینجا می‌توان گفت تحلیل مربوط به دگزامتازون به طور خاص مفید بود؛ زیرا نتایج ملموس آن، باعث تغییر رویه در روند درمانی شد. در نتیجه جان صدها هزار نفر را نجات داد. اما احتمال‌هایی که این نتیجه براساس آن‌ها بنا شده بود، «حقیقی» نبودند؛ بلکه محصول فرضیات و قضاوت‌های ذهنی (هرچند منطقی) بودند.

مسیر پیچیده

اما آیا تمام این اعداد، درواقع تخمین‌های ذهنی و شاید ناقص ما از یک «احتمال حقیقی» بنیادی، یعنی یک ویژگی عینی دنیا هستند؟

البته باید اشاره کرد که درباره جهان کوانتومی صحبت نمی‌کنیم. در سطح زیراتمی، ریاضی نشانگر این است که رویدادهای بی‌علت، می توانند با احتمالات مشخص رخ بدهند. هرچند که حداقل یکی از تفاسیر بیان می‌کند که حتی این احتمالات نیز نشان‌دهنده‌ی یک رابطه با سایر اجسام یا ناظران هستند؛ نه ویژگی‌های ذاتی اجسام کوانتومی. بااین‌حال، به نظر می‌رسد که این مسئله تاثیر ناچیزی بر رویدادهای مشهود در دنیای ماکروسکوپی دارد.

همچنین بهتر است از بحث‌های چند صدساله در رابطه با اینکه آیا جهان در سطوح غیرکوانتومی ماهیتی جبرگرایانه دارد یا اراده‌ی آزاد بر رویدادها اثر می‌گذارد، اجتناب کنیم. زیرا پاسخ هر چه باشد، همچنان باید تعریف کنیم که احتمال عینی واقعاً چیست.

در سالیان گذشته تلاش‌های زیادی برای تعریف احتمال انجام شده؛ اما هر یک از آن‌ها دارای نواقص یا محدودیت‌هایی بوده است. ازجمله‌ی این تلاش‌ها می‌توان به «احتمال فراوانی‌گرا» اشاره کرد؛ رویکردی که نسبت نظری رویدادها را در تعداد بی‌نهایتی از تکرار موقعیت‌های اساساً یکسان تعریف می‌کند؛ مثلاً اجرای یک آزمایش بالینی مشابه در جمعیت و شرایط یکسان برای بارها و بارها؛ مانند آن چیزی که در فیلم سینمایی روز موش خرما اثر سال ۱۹۹۳ دیده می‌شود.

 اما این ایده چندان واقع‌گرایانه به نظر نمی‌آید. رونالد فیشر، آماردان بریتانیایی پیشنهاد کرد که می‌توان به یک مجوعه خاص به عنوان نمونه‌ای از یک جمعیت فرضی بی‌نهایت فکر کرد؛ اما این ایده بیشتر به آزمایشی ذهنی شبیه است تا واقعیت عینی.

ایده‌ی دیگری به نام «نظریه تمایل احتمال» وجود دارد که تا حدی می‌توان گفت مفهومی رازآلود است. در این رویکرد، همه وقایع تمایل دارند که در سطوح بنیادین به گونه‌ای پیش بروند تا در یک زمینه مشخص و در یک رویداد به‌خصوص به وقوع بپیوندند؛‌ مثل اینکه من ده سال دیگر دچار حمله قلبی شوم؛ اما این ایده در عمل اثبات‌نشدنی به نظر می‌آید.

دامنه‌ی محدودی از موقعیت‌های کاملا کنترل‌شده و تکرارپذیر با پیچیدگی بسیار زیاد وجود دارد که حتی اگر ماهیت جبرگرایانه داشته باشند، با پارادایم فراوانی‌گرا سازگاری دارند و دارای توزیع احتمالی با ویژگی‌های پیش‌بینی‌پذیر در بلندمدت هستند. این موقعیت‌ها شامل دستگاه‌های استاندارد تصادفی‌ساز مانند چرخ رولت، کارت‌های بر زده‌شده، سکه‌های چرخان، تاس‌ها و توپ‌های قرعه‌کشی هستند.

 همچنین تولیدکننده‌های عدد شبه‌تصادفی در این دسته قرار می‌گیرند؛ چراکه این مولدها بر پایه‌ی الگوریتم‌هایی هستند که به طور معمول غیرخطی و آشوبناک عمل می‌کنند تا اعدادی را تولید کنند که آزمون‌های تصادفی‌بودن را پشت سر بگذارند.

در سالیان گذشته تلاش‌های زیادی برای تعریف احتمال انجام شده؛ اما هر یک از آن‌ها دارای نواقص یا محدودیت‌هایی بوده است

در دنیای طبیعی، می‌توانیم به نمونه‌هایی مانند رفتار مجموعه‌های عظیم مولکول‌های گاز اشاره کنیم که حتی در صورت پیروی از فیزیک نیوتنی، از قوانین مکانیک آماری تبعیت می‌کنند. همچنین در ژنتیک، پیچیدگی عظیم فرآینده‌های انتخاب و نوترکیبی کروموزومی باعث ایجاد نرخ‌های پایدار از وراثت می‌شود. در شرایط محدود، ممکن است منطقی باشد که یک احتمال شبه‌عینی را فرض کنیم؛ بدین معنا که خود احتمال یک رویداد را در نظر گرفت و نه یک احتمال ذهنی که وابسته به تفسیر فردی است.

بااین‌حال در هر شرایط دیگری که احتمال به کار می‌رود از بخش‌های گسترده علم گرفته تا ورزش، اقتصاد، پیش‌بینی آب وهوا، تغییرات اقلیمی، تحلیل ریسک، مدل‌های فجایع ناگهانی و موارد دیگر، منطقی نیست که قضاوت‌هایمان را تخمینی از احتمالات «واقعی» بدانیم. این زمینه‌ها فقط موقعیت‌هایی هستند که در آن‌ها می‌توانیم براساس دانش و قضاوت خود، عدم اطمینان شخصی یا جمعی را براساس احتمالات بیان کنیم. 

قضاوت شخصی

تمام بحث‌های اشاره‌شده، فقط سوال‌های بیشتر را مطرح می‌کند. مثلاً چگونه احتمال ذهنی را تعریف می‌کنیم؟ اگر قوانین احتمال برپایه‌های چیزهایی هستند که اساساً در ذهن ما شکل گرفته‌اند، چرا منطقی به نظر می‌آیند؟ این موضوع تقریباً یک قرن است که در متون دانشگاهی مورد بحث قرار گرفته؛ اما همچنان مورد توافق جهانی با نتیجه‌ای مشترک قرار نگرفته است.

 فرانک رمزی، ریاضیدان انگلیسی

یکی از نخستین تلاش‌ها در این زمینه، در سال ۱۹۲۶ از سوی فرانک رمزی، ریاضیدان و استاد دانشگاه کمبریج، انجام شد. اشپیگل‌هالتر در توصیف رمزی می‌گوید احتمالاً بیش از هر فردی در تاریخ دوست داشت با او ملاقات کند. تلاش‌های رمزی در زمینه‌ی ریاضیات، احتمال و اقتصاد او را در زمره‌ی افراد نابغه‌ای قرار می‌دهد که آثارش همچنان بنیادی محسوب می‌شود.

 او فقط صبح‌ها کار می‌کرد و ساعات استراحت خود را با همسرش صرف بازی تنیس و نوشیدن می‌کرد و از شرکت در مهمانی‌های پرشور و خوش‌گذرانی لذت می‌برد. رمزی در سال ۱۹۳۰ در ۲۶ سالگی درگذشت. به‌نقل از شریل میساک، نویسنده‌ی کتاب زندگی‌مانه‌ی رمزی، او ظاهرا براثر شناکردن در رودخانه و سپس ابتلا به بیماری لپتوسپیروز از دنیا رفت.

رمزی نشان ‌داد که تمام قوانین احتمال را می‌توان از طریق ترجیحات بیان‌شده در شرط‌بندی‌های خاص به‌دست آورد؛ بدین صورت که به نتایج، ارزش‌های مطلوب اختصاص داده و ارزش یک شرط‌بندی در مطلوبیت موردانتظار آن خلاصه می‌شود که خود آن براساس اعدادی ذهنی است که میزان باور نسبی یا به عبارت دیگر، احتمالات شخصی ما را بیان می‌کنند.

 بااین‌حال این تفسیر نیازمند مشخص‌کردن مقادیر اضافی برای مطلوبیت‌ها است. در سال‌های اخیر نشان داده شده است که قوانین احتمال را می‌توان صرفاً براساس بهینه‌سازی عملکرد مورد انتظار با استفاده از یک قاعده‌ی نمره‌دهی مناسب استخراج کرد.

تلاش‌ها برای تعریف احتمال اغلب ابهام‌آمیز هستند. برای مثال، آلن تورینگ در مقاله‌ی «کاربرد‌های احتمال در رمزنگاری» (۱۹۴۱-۱۹۴۲) از این تعریف کاربردی استفاده می‌کند: «احتمال یک رویداد براساس شواهد معین، برابر است با نسبت مواردی که می‌توان انتظار داشت آن رویداد با درنظرگرفتن همان شواهد در آن‌ها رخ دهد.» این تعریف تایید می‌کند که احتمالات کاربردی مبتنی بر انتظارها، یعنی قضاوت‌های انسانی هستند. اما وقتی تورینگ از واژه‌ی «موارد» استفاده می‌کند، آیا منظورش نمونه‌هایی از یک مشاهده‌ی مشابه است یا نمونه‌هایی از همان نوع قضاوت‌ها؟

برداشت دوم با تعریف فراوانی‌گرایانه‌ی احتمال عینی شباهت دارد؛ با این تفاوت که دسته‌ای از مشاهدات مشابه و تکراری جای خود را به دسته‌ای از قضاوت‌های مشابه و تکراری داده‌اند. در این دیدگاه، اگر احتمال بارش باران ۷۰ درصد برآورد شود، این پیش‌بینی در مجموعه‌ای از شرایط قرار می‌گیرد که هواشناس احتمال ۷۰ درصد را برای آن اختصاص داده است.

 یعنی انتظار می‌رود که در ۷۰ درصد از این موقعیت‌ها، واقعاً باران ببارد. این تعریف مورد علاقه‌ی اشپیگل‌هالتر است؛ اما ابهام موجود در تعریف احتمال به وضوح نشان می‌دهد که پس از تقریباً چهار قرن بحث، هنوز بسیاری از افراد با او هم‌نظر نیستند.

رویکرد عملگرایانه

اشپیگل‌هالتر می‌گوید در سال ۱۹۷۰، وقتی هنوز دانشجو بود، آدریان اسمیت، آماردان و استاد وی، در حال ترجمه‌ی کتابی از برونو دی‌فنیتی به نام «نظریه احتمال» بود. دی‌فنیتی تقریباً در همان زمان رمزی، به صورت مستقل در حال گسترش ایده‌ی احتمال ذهنی بوده است.

یکی از نکات جالب درباره‌ی دی‌فنیتی این است که او برخلاف رمزی که سوسیالیستی سرسخت بود، در جوانی از طرفداران نظام فاشیستی موسولینی محسوب می‌شد؛ هرچند بعداً نظر خود را تغییر داد. دی‌فنیتی کتابش را با این عبارت جنجالی شروع می‌کند: «احتمال وجود ندارد!» ایده‌ای که درطول ۵۰ سال گذشته تأثیری عمیق بر اشپیگل‌هالتر داشته است.

 برونو دی فینتی.

بااین‌حال در عمل شاید نیاز نباشد که تصمیم بگیریم آیا «شانس‌های عینی» در دنیای روزمره‌ی غیرکوانتومی واقعاً وجود دارند یا خیر. به‌جای آن می‌توانیم رویکردی عملگرایانه اتخاذ کنیم. به‌طرز جالب، دی‌فنیتی متقاعدکننده‌ترین استدلال خود برای این رویکرد را در اثری در سال ۱۹۳۱ درباره‌ی «مبادله‌پذیری» ارائه کرد و به شکل‌گیری قضیه‌ی معروفی منجر شد که به نام خود او شناخته می‌شود. در این رویکرد، یک دنباله از رویدادها زمانی امکان مبادله دارند که احتمال ذهنی ما برای هر دنباله تحت‌تاثیر ترتیب مشاهداتمان قرار نگیرد.

دی‌فنیتی به‌طرز برجسته‌ای اثبات کرد که فرضیه‌ی او از نظر ریاضی معادل عمل‌کردن به‌گونه‌ای است که گویی رویدادها مستقل هستند، هرکدام یک «شانس» واقعی زیربنایی برای وقوع دارند و عدم قطعیت ما درباره‌ی آن شانس ناشناخته ازطریق توزیع احتمالی ذهنی و معرفتی بیان می‌شود. این دیدگاه بسیار جالب است و نشان می‌دهد که که اگر از یک بیان کاملا ذهنی و شخصی از باورهای خود شروع کنیم، در عمل باید طوری رفتار کنیم که گویی رویدادها بر اساس احتمال عینی رخ می‌دهند.

بسیار شگفت‌انگیز است که چنین حجم بالایی از تلاش‌ها که پایه‌گذار کل علم آمار و بسیاری از دیگر فعالیت‌های علمی و اقتصادی محسوب می‌شود، از ایده‌ای چنین مبهم برخاسته است. بنابراین، در پایان می‌توان گفت که در دنیای روزمره‌ی ما، «احتمال» احتمالاً وجود ندارد؛ اما اغلب مفید است به‌گونه‌ای عمل کنیم که انگار وجود دارد.

مرور زندگی جورج کانتور دانشمندِ پرداخته به مفهوم بی نهایت ریاضی

جورج کانتور و اسرار بی نهایت

توسط سمیر الله وردی · منتشر شده ۱۳۹۱/۱۱/۰۱

تاریخچه مفهوم شگفت انگیز بی نهایت، از گذشته های دور ذهن ریاضی دانان را به خود مشغول کرده بود. هر چند برخی معتقدند که مفهوم بی نهایت برای نخستین بار در تمدن هند باستان مطرح شده است، اما می توان گفت که نخستین کار جدی در مورد بی نهایت در عرصه ریاضیات به دوران یونان باستان و تحقیقات اقلیدس بر روی اعداد اول باز می گردد. اقلیدس در کتاب مشهور ” اصول ” خود هر چند مستقیماً نامی از بی نهایت نمی برد، اما به طور ضمنی به آن اشاره می کند که ” بزرگترین عدد اول، از حاصل ضرب هر تعداد مفروضی از اعداد اول هم بزرگتر است “. پس از اقلیدس، پژوهش در مورد بی نهایت توسط سایر ریاضی دانان همچنان ادامه یافت تا سرانجام نماد ∞ به عنوان نماد ابن مفهوم اسرارآمیز پا به عرصه ریاضیات گذاشت. با آغاز عصر جدید، پژوهش در مورد بی نهایت همچنان ادامه یافت. در این دوران ” گاتفرید ویلهلم لایبنیتز” و ” ایزاک نیوتن ” برای نخستین بار از وجود مفهوم جدیدی به نام ” بی نهایت کوچک ” در عرصه ریاضیات پرده برداشتند. بی نهایت کوچک که عملا از همان مفهوم بی نهایت مشتق شده است، عددی مثبت است که از هر عدد مثبت مفروض دیگری کوچکتر است. بدین ترتیب ” بی نهایت ” به همراه پسر عموی کوچک خود یعنی بی نهایت کوچک، پایه های عرصه بدیعی از ریاضیات به نام ” حساب دیفرانسیل و انتگرال ” ( حسابان) را شکل دادند و ابن گونه بود که بی نهایت عملا به مهمترین مفهوم در علوم و مهندسی جدید تبدیل شد. اما در حالی که دانشمندان و مهندسان به کاربردهای بی نهایت بسنده کرده بودند، تلاش برای کشف دیگر ویژگی های این مفهوم اسرارآمیز در عرصه ریاضیات همچنان ادامه یافت.

جورج والیدمر کانتور، پدر جورج کانتور، یک تاجر موفق بود که به عنوان یک عامل عمده فروش در پیترزبورگ و بعدها به عنوان یک دلال در بورس سهام پیترزبورگ کار می‌کرد. جورج والیدمر کانتور زاده‌ی دانمارک بود و عمیقاً به فرهنگ و هنر عشق می‌ورزید. ماریا آنّـا بـوم، مادر کانتور، روسی و بسیار اهل موسیقی بود. مطمئناً جورج استعداد قابل توجهی در موسیقی و هنر از والدینش به ارث برده بود چرا که او نیز ویلون زن برجسته‌ای بود. جورج درحالی که مادرش کاتولیک بود، پرورش یافته‌ی مذهب پدری‌اش؛ پروتستان بود.

کانتور تحصیلات مقدماتی را در خانه توسط یک معلم خصوصی فرا گرفت و پس از آن در پیترزبورگ به مدرسه‌ی ابتدایی رفت. او به همراه خانواده‌اش در سال ۱۸۵۶، زمانی که فقط یازده ساله بود؛ به آلمان کوچ کردند. با این وجود : «…او هرچند بقیه‌ی عمرش را در آلمان زندگی کرد و ظاهراً هرگز به زبان مادری‌اش چیزی ننوشته بود، اما با احساس غربت فراوانی سال‌های اولیه عمرش در روسیه را به یاد می‌آورد و هرگز در آلمان احساس آرامش نمی‌کرد…»

پدر کانتور سلامتی خوبی نداشت و با رفتن به آلمان، با آب و هوایی گرمتر از زمستان‌های سخت پیترزبورگ روبرو شد. آن‌ها در ابتدا در ویسبادن ساکن شدند، جایی که کانتور ژیمناستیک یاد گرفت؛ پس از آن به فرانکفورت نقل مکان کردند. کانتور در شهر دارمسد در مدرسه Realschule به صورت شبانه روزی تحصیل می‌کرد. در سال ۱۸۶۰ با یک کارنامه‌ی عالی از آن جا فارغ التحصیل شد. کارنامه‌ای که استعدادهای خارق العاده‌ی او را در ریاضیات و به ویژه در مثلثات، به خوبی نشان می‌داد. پس از کسب مدرکی از Höhere Gewerbeschule در شهر دارمسد در سال ۱۸۶۰، در سال ۱۸۶۲ وارد دانشگاه پلی تکنیک زوریخ شد. دلیل آن که پدر کانتور Höhere Gewerbeschule را برای پسرش انتخاب کرده بود، این بود که می‌خواست پسرش : «ستاره‌ای در آسمان مهندسی باشد …»

با این وجود کانتور در سال ۱۸۶۲ در پی کسب اجازه از پدرش برای ادامه تحصیل در ریاضیات در دانشگاه بود و هنگامی که سرانجام موافقت او را کسب کرد، بسیار خوشحال شد.
تحصیلات کانتور در زوریخ با مرگ پدرش در ژوئن ۱۸۶۳ خیلی زود قطع شد. سپس کانتور به دانشگاه برلین رفت و در آن جا با هرمان شوارتز همکلاسی بود و با او دوست شد. کانتور در جلسات سخنرانی وایراشتراس، کومر و کرونیکر حضور داشت. ترم تابستانی ۱۸۶۶ را در دانشگاه گوتینگن سپری کرد و برای اتمام پایان نامه‌اش در نظریه اعداد در سال ۱۸۶۷ به برلین بازگشت.

کانتور زمانی که در برلین بود با انجمن ریاضی رابطه‌ی زیادی داشت و طی سال‌های ۱۸۶۴-۶۵ رئیس انجمن بود. همچنین عضوی از یک گروه کوچک ریاضی بود که هفته‌ای یک بار نشست داشتند. کانتور پس از اخذ مدرک دکتری در سال ۱۸۶۷، در یک مدرسه دخترانه در برلین به تدریس پرداخت. سپس در سال ۱۸۶۸ به سمینار شلباخ که برای معلمان ریاضی بود، پیوست. در این مدت او روی پایان نامه تخصصی دکترای خود کار می‌کرد و بلافاصله پس از آن که در سال ۱۳۶۹ جذب هاله شد، این رساله‌ی خود را ارائه کرد که باز هم در نظریه اعداد بود و دکترای تخصصی خود را دریافت کرد.

موضوع تحقیقات کانتور در هاله از نظریه اعداد به آنالیز تغییر کرد. این تغییر به خاطر نقش هاینه، یکی از همکاران ارشدش در هاله بود که کانتور را برای اثبات مسأله حل نشده‌ای درباره‌ی یکتایی نمایش یک تابع به صورت یک سری مثلثاتی، به مبارزه طلبیده بود. این مسأله یک مسأله دشوار بود که بسیاری از دانشمندان از جمله خود هاینه و دیریکله، لیپشیتز و ریمان در مواجهه با آن ناکام مانده بودند. کانتور مسأله را حل کرد و یکتایی نمایش را تا آوریل ۱۸۷۰ ثابت کرد. در بین سال‌های ۱۸۷۰ تا ۱۸۷۲ مقالات بیشتری درباره‌ی سری‌های مثلثاتی منتشر کرد که همه‌ی آن‌ها تأثیرات تدریس وایراشتراس را نشان می‌دهد. کانتور در سال ۱۸۷۲ در هاله در حد یک پروفسور برجسته ریاضی ترفیع یافت و همان سال سرآغاز دوستی‌اش با ددکیند که او را در تعطیلاتی در سویتزرلند ملاقات کرده بود، شد. کانتور در سال ۱۸۷۲ مقاله‌ای درباره سری‌های مثلثاتی منتشر کرد که در آن اعداد گنگ را نسبت به همگرایی دنباله‌هایی از اعداد گویا تعریف می‌کند. در همان سال ددکیند تعریفش از اعداد حقیقی را با «برش‌های ددکیند» منتشر کرد و در این مقاله‌اش به مقاله‌ی سال ۱۸۷۲ کانتور که کانتور برایش ارسال کرده بود، ارجاع می‌دهد.

کانتور در سال ۱۸۷۳، شمارش پذیر بودن اعداد گویا را ثابت کرد یعنی می‌توانند با اعداد طبیعی در تناظر یک به یک باشند. همچنین نشان داد که اعداد جبری؛ اعدادی که ریشه‌های چند جمله‌ای‌ هایی با ضرایب عدد صحیح اند، شمارا هستند. اما تلاش‌هایش برای به نتیجه رسیدن این که آیا اعداد حقیقی شمارا هستند، سخت تر بود. او سرانجام در دسامبر سال ۱۸۷۳ ثابت کرد که اعداد حقیقی ناشمارا هستند و این موضوع را در مقاله‌ای در سال ۱۸۷۴ چاپ کرد.
تلاش های او در سال ۱۸۷۴ میلادی به نقطه عطفی رسید، زیرا در این سال بود که ” جورج کانتور ” ،ریاضی دان بزرگ روسی – آلمانی، به کشف حیرت انگیزی در مورد بی نهایت دست یافت: این که اگر چه بی نهایت، بی نهایت بزرگ است، اما با این حال بزرگتر از آن هم وجود دارد! این کشف، فوق العاده عجیب بود؛ چرا که می دانیم که بی نهایت از هر عدد قابل تصوّری بزرگتر است. پس چگونه ممکن است چیزی بزرگتر از بی نهایت هم وجود داشته باشد؟ در پاسخ باید گفت که هر چیزی که از بی نهایت بزرگتر باشد، اول از همه خودش باید بی نهایت باشد. بنابراین در واقع کانتور کشف کرد که بعضی بی نهایت ها از بعضی دیگر از بی نهایت ها بزرگتر هستند! اما به راستی چگونه ؟ آخر اگر بی نهایت، بی نهایت بزرگ است ، پس چگونه ممکن است بزرگتر از آن هم وجود داشته باشد؟! هنگامی که کانتور کشف عجیب و شگفت انگیز خود را برای سایر ریاضی دانان بازگو کرد،همگی تصور کردند که او دچار نوعی جنون شده است! به همین دلیل هم هنوز چند سالی از این کشف عجیب نگذشته بود که کانتور دچار افسردگی شدید شد. علت افسردگی شدید او کناره گیری از همکارانش و ناامید شدن از آنها و سایر ریاضی دانان بود؛ چرا که هرچه کشف مهم خود را برای آنها توضیح می داد،هیچ کس متوجه آن نمی شد در واقع این ریاضی دانان نسل بعد بودند که نهایتا به اهمیت فوق العاده کشف کانتور پی بردند. اما به راستی کانتور چگونه به چنین نتیجه حیرت انگیزی رسیده بود؟ پاسخ این معما به شاخه ای از ریاضیات باز می گردد که توسط خود کانتور بسط داده شده بود و امروزه ” نظریه مجموعه ها ” نامیده می شود.

تحلیل ریاضی بینهایت مفاهیم بنیادی دنباله عدد های صحیح مثبت …, ۱,۲,۳ نخستین و مهمترین نمونه از مجموعه های نا متناهی است. در اینکه این دنباله پایان یا انتها یا « نهایت»ی ندارد هیچ ابهامی وجود ندارد زیرا هر قدر عدد صحیح n بزرگ باشد، همواره می توان عدد صحیح بعدی ، n + 1 ، را تشکیل داد. اما در گذار از صفت « نا متناهی » یا « بینهایت » به اسم « بینهایت » نباید تصور کرد « بینهایت »، که معمولا با نماد ویژه ∞ نمایانده می شود، همچون یک عدد معمولی است. نمی توان نماد ∞ را در دستگاه اعداد حقیقی منظور کرد و در عین حال قواعد بنیادی حساب را محفوظ نگه داشت. با این حال، مفهوم بینهایت در همه جای ریاضیات حضور دارد زیرا اشیای ریاضی معمولاً نه به صورت انفرادی و جداگانه بلکه به عنوان اعضای رده ها یا توده هایی که بینهایت شی ء همنوع دارند ، مانند مجموعه عدد های صحیح یا عدد های حقیقی یا مثلث ها در یک صفحه، مورد مطالعه قرار می گیرند. به این دلیل، تحلیل دقیق بینهایت ریاضی ضرورت دارد. نظریه نوین مجموعه ها که در اواخر قرن نوزدهم به وسیله جورج کانتور و پیروان مکتب او خلق شده، به این مسئله پرداخته و توفیق خیره کننده ای در حل آن بدست آورده است. نظریه کانتور در باب مجموعه ها در بسیاری از شاخه های ریاضی رخنه کرده و در آن ها به شدت تاثیر گذاشته، و در مطالعه مبانی منطقی و فلسفی ریاضیات اهمیتی اساسی یافته است. نقطه شروع این نظریه مفهوم مجموعه یا توده است. منظور از این کلمه، هر گردآیه (مجموعه) ای از چیزهاست که با قاعده ای تعریف می شود که به دقت مشخص می کند کدام چیزها به گردآیه مفروض تعلق دارند. به عنوان مثال می توان از مجموعه همه اعداد صحیح مثبت، مجموعه همه کسرهای اعشاری دوره ای، مجموعه همه عدد های حقیقی، یا مجموعه همه خط های راست در فضا سه بعدی، نام برد.
مفهوم اساسی در مقایسه « اندازه » دو مجموعه، مفهوم « هم ارزی » است. اگر عضو های دو مجموعهA و B را بتوان چنان با هم جفت کرد که به هر عضو A یک و فقط یک عضو B و به هر عضو B یک و فقط یک عضو A نظیر شود، این تناظر را دو سویی می نامند و می گویند A و B هم ارزند. مفهوم هم ارزی برای مجموعه های متناهی با مفهوم معمولی برابری تعداد اعضا یکی است زیرا تعداد عضو های دو مجموعه متناهی یکی است اگر و تنها اگر بتوان تناظری بین آنها برقرار کرد. این موضوع در واقع همان ایده شمارش است زیرا وقتی مجموعه ای متناهی از چیز ها را می شماریم، صرفاً تناظری دو سویی بین آن چیزها و مجموعه ای از نمادهای عددی  3،2،1… ، برقرار می سازیم. برای اثبات هم ارزی دو مجموعه متناهی همیشه لازم نیست اشیای موجود در آنها را بشمریم. مثلاًَ می توانیم بدون شمارش ادعا کنیم که هر مجموعه متناهی از دایره های به شعاع ۱ با مجموعه مرکز های آنها هم ارز است.
کانتور در سال ۱۹۱۳ بازنشسته شد و سال‌های آخر عمر خود را با بیماری و کمبود آذوقه به خاطر شرایط جنگی در آلمان سپری کرد. مراسم بزرگی برای تولد هفتاد سالگی کانتور در سال ۱۹۱۵ از طرف ‌هاله طراحی شده بود که به خاطر جنگ مجبور به لغو آن شدند ولی مراسم کوچکی در خانه‌اش برگزار شد. کانتور در ژوئن ۱۹۱۷ برای آخرین بار به آسایشگاه رفت و مکرراً در نوشته‌هایش به همسرش از او می‌خواست تا موافقت کند که به خانه برگردد. او به علت سکته قلبی درگذشت.

منبع : http://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor