مرور زندگی جورج کانتور دانشمندِ پرداخته به مفهوم بی نهایت ریاضی

جورج کانتور و اسرار بی نهایت

توسط سمیر الله وردی · منتشر شده ۱۳۹۱/۱۱/۰۱

تاریخچه مفهوم شگفت انگیز بی نهایت، از گذشته های دور ذهن ریاضی دانان را به خود مشغول کرده بود. هر چند برخی معتقدند که مفهوم بی نهایت برای نخستین بار در تمدن هند باستان مطرح شده است، اما می توان گفت که نخستین کار جدی در مورد بی نهایت در عرصه ریاضیات به دوران یونان باستان و تحقیقات اقلیدس بر روی اعداد اول باز می گردد. اقلیدس در کتاب مشهور ” اصول ” خود هر چند مستقیماً نامی از بی نهایت نمی برد، اما به طور ضمنی به آن اشاره می کند که ” بزرگترین عدد اول، از حاصل ضرب هر تعداد مفروضی از اعداد اول هم بزرگتر است “. پس از اقلیدس، پژوهش در مورد بی نهایت توسط سایر ریاضی دانان همچنان ادامه یافت تا سرانجام نماد ∞ به عنوان نماد ابن مفهوم اسرارآمیز پا به عرصه ریاضیات گذاشت. با آغاز عصر جدید، پژوهش در مورد بی نهایت همچنان ادامه یافت. در این دوران ” گاتفرید ویلهلم لایبنیتز” و ” ایزاک نیوتن ” برای نخستین بار از وجود مفهوم جدیدی به نام ” بی نهایت کوچک ” در عرصه ریاضیات پرده برداشتند. بی نهایت کوچک که عملا از همان مفهوم بی نهایت مشتق شده است، عددی مثبت است که از هر عدد مثبت مفروض دیگری کوچکتر است. بدین ترتیب ” بی نهایت ” به همراه پسر عموی کوچک خود یعنی بی نهایت کوچک، پایه های عرصه بدیعی از ریاضیات به نام ” حساب دیفرانسیل و انتگرال ” ( حسابان) را شکل دادند و ابن گونه بود که بی نهایت عملا به مهمترین مفهوم در علوم و مهندسی جدید تبدیل شد. اما در حالی که دانشمندان و مهندسان به کاربردهای بی نهایت بسنده کرده بودند، تلاش برای کشف دیگر ویژگی های این مفهوم اسرارآمیز در عرصه ریاضیات همچنان ادامه یافت.

جورج والیدمر کانتور، پدر جورج کانتور، یک تاجر موفق بود که به عنوان یک عامل عمده فروش در پیترزبورگ و بعدها به عنوان یک دلال در بورس سهام پیترزبورگ کار می‌کرد. جورج والیدمر کانتور زاده‌ی دانمارک بود و عمیقاً به فرهنگ و هنر عشق می‌ورزید. ماریا آنّـا بـوم، مادر کانتور، روسی و بسیار اهل موسیقی بود. مطمئناً جورج استعداد قابل توجهی در موسیقی و هنر از والدینش به ارث برده بود چرا که او نیز ویلون زن برجسته‌ای بود. جورج درحالی که مادرش کاتولیک بود، پرورش یافته‌ی مذهب پدری‌اش؛ پروتستان بود.

کانتور تحصیلات مقدماتی را در خانه توسط یک معلم خصوصی فرا گرفت و پس از آن در پیترزبورگ به مدرسه‌ی ابتدایی رفت. او به همراه خانواده‌اش در سال ۱۸۵۶، زمانی که فقط یازده ساله بود؛ به آلمان کوچ کردند. با این وجود : «…او هرچند بقیه‌ی عمرش را در آلمان زندگی کرد و ظاهراً هرگز به زبان مادری‌اش چیزی ننوشته بود، اما با احساس غربت فراوانی سال‌های اولیه عمرش در روسیه را به یاد می‌آورد و هرگز در آلمان احساس آرامش نمی‌کرد…»

پدر کانتور سلامتی خوبی نداشت و با رفتن به آلمان، با آب و هوایی گرمتر از زمستان‌های سخت پیترزبورگ روبرو شد. آن‌ها در ابتدا در ویسبادن ساکن شدند، جایی که کانتور ژیمناستیک یاد گرفت؛ پس از آن به فرانکفورت نقل مکان کردند. کانتور در شهر دارمسد در مدرسه Realschule به صورت شبانه روزی تحصیل می‌کرد. در سال ۱۸۶۰ با یک کارنامه‌ی عالی از آن جا فارغ التحصیل شد. کارنامه‌ای که استعدادهای خارق العاده‌ی او را در ریاضیات و به ویژه در مثلثات، به خوبی نشان می‌داد. پس از کسب مدرکی از Höhere Gewerbeschule در شهر دارمسد در سال ۱۸۶۰، در سال ۱۸۶۲ وارد دانشگاه پلی تکنیک زوریخ شد. دلیل آن که پدر کانتور Höhere Gewerbeschule را برای پسرش انتخاب کرده بود، این بود که می‌خواست پسرش : «ستاره‌ای در آسمان مهندسی باشد …»

با این وجود کانتور در سال ۱۸۶۲ در پی کسب اجازه از پدرش برای ادامه تحصیل در ریاضیات در دانشگاه بود و هنگامی که سرانجام موافقت او را کسب کرد، بسیار خوشحال شد.
تحصیلات کانتور در زوریخ با مرگ پدرش در ژوئن ۱۸۶۳ خیلی زود قطع شد. سپس کانتور به دانشگاه برلین رفت و در آن جا با هرمان شوارتز همکلاسی بود و با او دوست شد. کانتور در جلسات سخنرانی وایراشتراس، کومر و کرونیکر حضور داشت. ترم تابستانی ۱۸۶۶ را در دانشگاه گوتینگن سپری کرد و برای اتمام پایان نامه‌اش در نظریه اعداد در سال ۱۸۶۷ به برلین بازگشت.

کانتور زمانی که در برلین بود با انجمن ریاضی رابطه‌ی زیادی داشت و طی سال‌های ۱۸۶۴-۶۵ رئیس انجمن بود. همچنین عضوی از یک گروه کوچک ریاضی بود که هفته‌ای یک بار نشست داشتند. کانتور پس از اخذ مدرک دکتری در سال ۱۸۶۷، در یک مدرسه دخترانه در برلین به تدریس پرداخت. سپس در سال ۱۸۶۸ به سمینار شلباخ که برای معلمان ریاضی بود، پیوست. در این مدت او روی پایان نامه تخصصی دکترای خود کار می‌کرد و بلافاصله پس از آن که در سال ۱۳۶۹ جذب هاله شد، این رساله‌ی خود را ارائه کرد که باز هم در نظریه اعداد بود و دکترای تخصصی خود را دریافت کرد.

موضوع تحقیقات کانتور در هاله از نظریه اعداد به آنالیز تغییر کرد. این تغییر به خاطر نقش هاینه، یکی از همکاران ارشدش در هاله بود که کانتور را برای اثبات مسأله حل نشده‌ای درباره‌ی یکتایی نمایش یک تابع به صورت یک سری مثلثاتی، به مبارزه طلبیده بود. این مسأله یک مسأله دشوار بود که بسیاری از دانشمندان از جمله خود هاینه و دیریکله، لیپشیتز و ریمان در مواجهه با آن ناکام مانده بودند. کانتور مسأله را حل کرد و یکتایی نمایش را تا آوریل ۱۸۷۰ ثابت کرد. در بین سال‌های ۱۸۷۰ تا ۱۸۷۲ مقالات بیشتری درباره‌ی سری‌های مثلثاتی منتشر کرد که همه‌ی آن‌ها تأثیرات تدریس وایراشتراس را نشان می‌دهد. کانتور در سال ۱۸۷۲ در هاله در حد یک پروفسور برجسته ریاضی ترفیع یافت و همان سال سرآغاز دوستی‌اش با ددکیند که او را در تعطیلاتی در سویتزرلند ملاقات کرده بود، شد. کانتور در سال ۱۸۷۲ مقاله‌ای درباره سری‌های مثلثاتی منتشر کرد که در آن اعداد گنگ را نسبت به همگرایی دنباله‌هایی از اعداد گویا تعریف می‌کند. در همان سال ددکیند تعریفش از اعداد حقیقی را با «برش‌های ددکیند» منتشر کرد و در این مقاله‌اش به مقاله‌ی سال ۱۸۷۲ کانتور که کانتور برایش ارسال کرده بود، ارجاع می‌دهد.

کانتور در سال ۱۸۷۳، شمارش پذیر بودن اعداد گویا را ثابت کرد یعنی می‌توانند با اعداد طبیعی در تناظر یک به یک باشند. همچنین نشان داد که اعداد جبری؛ اعدادی که ریشه‌های چند جمله‌ای‌ هایی با ضرایب عدد صحیح اند، شمارا هستند. اما تلاش‌هایش برای به نتیجه رسیدن این که آیا اعداد حقیقی شمارا هستند، سخت تر بود. او سرانجام در دسامبر سال ۱۸۷۳ ثابت کرد که اعداد حقیقی ناشمارا هستند و این موضوع را در مقاله‌ای در سال ۱۸۷۴ چاپ کرد.
تلاش های او در سال ۱۸۷۴ میلادی به نقطه عطفی رسید، زیرا در این سال بود که ” جورج کانتور ” ،ریاضی دان بزرگ روسی – آلمانی، به کشف حیرت انگیزی در مورد بی نهایت دست یافت: این که اگر چه بی نهایت، بی نهایت بزرگ است، اما با این حال بزرگتر از آن هم وجود دارد! این کشف، فوق العاده عجیب بود؛ چرا که می دانیم که بی نهایت از هر عدد قابل تصوّری بزرگتر است. پس چگونه ممکن است چیزی بزرگتر از بی نهایت هم وجود داشته باشد؟ در پاسخ باید گفت که هر چیزی که از بی نهایت بزرگتر باشد، اول از همه خودش باید بی نهایت باشد. بنابراین در واقع کانتور کشف کرد که بعضی بی نهایت ها از بعضی دیگر از بی نهایت ها بزرگتر هستند! اما به راستی چگونه ؟ آخر اگر بی نهایت، بی نهایت بزرگ است ، پس چگونه ممکن است بزرگتر از آن هم وجود داشته باشد؟! هنگامی که کانتور کشف عجیب و شگفت انگیز خود را برای سایر ریاضی دانان بازگو کرد،همگی تصور کردند که او دچار نوعی جنون شده است! به همین دلیل هم هنوز چند سالی از این کشف عجیب نگذشته بود که کانتور دچار افسردگی شدید شد. علت افسردگی شدید او کناره گیری از همکارانش و ناامید شدن از آنها و سایر ریاضی دانان بود؛ چرا که هرچه کشف مهم خود را برای آنها توضیح می داد،هیچ کس متوجه آن نمی شد در واقع این ریاضی دانان نسل بعد بودند که نهایتا به اهمیت فوق العاده کشف کانتور پی بردند. اما به راستی کانتور چگونه به چنین نتیجه حیرت انگیزی رسیده بود؟ پاسخ این معما به شاخه ای از ریاضیات باز می گردد که توسط خود کانتور بسط داده شده بود و امروزه ” نظریه مجموعه ها ” نامیده می شود.

تحلیل ریاضی بینهایت مفاهیم بنیادی دنباله عدد های صحیح مثبت …, ۱,۲,۳ نخستین و مهمترین نمونه از مجموعه های نا متناهی است. در اینکه این دنباله پایان یا انتها یا « نهایت»ی ندارد هیچ ابهامی وجود ندارد زیرا هر قدر عدد صحیح n بزرگ باشد، همواره می توان عدد صحیح بعدی ، n + 1 ، را تشکیل داد. اما در گذار از صفت « نا متناهی » یا « بینهایت » به اسم « بینهایت » نباید تصور کرد « بینهایت »، که معمولا با نماد ویژه ∞ نمایانده می شود، همچون یک عدد معمولی است. نمی توان نماد ∞ را در دستگاه اعداد حقیقی منظور کرد و در عین حال قواعد بنیادی حساب را محفوظ نگه داشت. با این حال، مفهوم بینهایت در همه جای ریاضیات حضور دارد زیرا اشیای ریاضی معمولاً نه به صورت انفرادی و جداگانه بلکه به عنوان اعضای رده ها یا توده هایی که بینهایت شی ء همنوع دارند ، مانند مجموعه عدد های صحیح یا عدد های حقیقی یا مثلث ها در یک صفحه، مورد مطالعه قرار می گیرند. به این دلیل، تحلیل دقیق بینهایت ریاضی ضرورت دارد. نظریه نوین مجموعه ها که در اواخر قرن نوزدهم به وسیله جورج کانتور و پیروان مکتب او خلق شده، به این مسئله پرداخته و توفیق خیره کننده ای در حل آن بدست آورده است. نظریه کانتور در باب مجموعه ها در بسیاری از شاخه های ریاضی رخنه کرده و در آن ها به شدت تاثیر گذاشته، و در مطالعه مبانی منطقی و فلسفی ریاضیات اهمیتی اساسی یافته است. نقطه شروع این نظریه مفهوم مجموعه یا توده است. منظور از این کلمه، هر گردآیه (مجموعه) ای از چیزهاست که با قاعده ای تعریف می شود که به دقت مشخص می کند کدام چیزها به گردآیه مفروض تعلق دارند. به عنوان مثال می توان از مجموعه همه اعداد صحیح مثبت، مجموعه همه کسرهای اعشاری دوره ای، مجموعه همه عدد های حقیقی، یا مجموعه همه خط های راست در فضا سه بعدی، نام برد.
مفهوم اساسی در مقایسه « اندازه » دو مجموعه، مفهوم « هم ارزی » است. اگر عضو های دو مجموعهA و B را بتوان چنان با هم جفت کرد که به هر عضو A یک و فقط یک عضو B و به هر عضو B یک و فقط یک عضو A نظیر شود، این تناظر را دو سویی می نامند و می گویند A و B هم ارزند. مفهوم هم ارزی برای مجموعه های متناهی با مفهوم معمولی برابری تعداد اعضا یکی است زیرا تعداد عضو های دو مجموعه متناهی یکی است اگر و تنها اگر بتوان تناظری بین آنها برقرار کرد. این موضوع در واقع همان ایده شمارش است زیرا وقتی مجموعه ای متناهی از چیز ها را می شماریم، صرفاً تناظری دو سویی بین آن چیزها و مجموعه ای از نمادهای عددی  3،2،1… ، برقرار می سازیم. برای اثبات هم ارزی دو مجموعه متناهی همیشه لازم نیست اشیای موجود در آنها را بشمریم. مثلاًَ می توانیم بدون شمارش ادعا کنیم که هر مجموعه متناهی از دایره های به شعاع ۱ با مجموعه مرکز های آنها هم ارز است.
کانتور در سال ۱۹۱۳ بازنشسته شد و سال‌های آخر عمر خود را با بیماری و کمبود آذوقه به خاطر شرایط جنگی در آلمان سپری کرد. مراسم بزرگی برای تولد هفتاد سالگی کانتور در سال ۱۹۱۵ از طرف ‌هاله طراحی شده بود که به خاطر جنگ مجبور به لغو آن شدند ولی مراسم کوچکی در خانه‌اش برگزار شد. کانتور در ژوئن ۱۹۱۷ برای آخرین بار به آسایشگاه رفت و مکرراً در نوشته‌هایش به همسرش از او می‌خواست تا موافقت کند که به خانه برگردد. او به علت سکته قلبی درگذشت.

منبع : http://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor